Основные понятия и определения финансовой математики:

Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различной форме (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Первоначальная денежная сумма (настоящая, современная, текущая, приведенная) – величина капитала, имеющегося на начальный момент времени (или величина капитала, вкладываемого в рассматриваемую операцию).

Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение (компаудинг) – увеличение первоначальной денежной суммы за счет присоединения начисленных процентов.

Наращенная (будущая) денежная сумма – первоначальная денежная сумма вместе с начисленными процентами.

Дисконтирование – определение текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы (приведение будущей денежной суммы к настоящему моменту времени).

Коэффициент наращения – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – период времени, в течение которого начисляются проценты. Он может выражаться в днях или в годах, являться как целым, так и нецелым числом.

Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по прошествии которого начисляются проценты. Период начисления может состоять из одного или нескольких равных интервалов начисления.

Временная база для расчета процентов Т - количество дней в году, которое берется для расчета процентов. В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции, рассчитывается либо точный, либо обыкновенный процент.

Возможны следующие варианты:

Существует несколько способов начисления процентов и, соответственно, несколько видов процентных ставок. В зависимости от применяемого способа начисления финансовые результаты могут достаточно сильно различаться. При этом разница будет тем больше, чем больше вкладываемый капитал, применяемая процентная ставка и продолжительность периода начисления.

Общее представление о различных способах начисления процентов дает следующая схема:

Наиболее распространенным является декурсивный способ начисления процентов. При таком способе проценты I начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала P . Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) i представляет собой выраженное в процентах отношение начисленного за данный интервал дохода (процентов) к сумме, имеющейся на начало этого интервала. Величина процентной ставки характеризует интенсивность начисления процентов.

Данной операции наращения соответствует следующее математическое выражение:

S = P + I = P + i P = P (1 + i )

Обратной данной операции является операция дисконтирования , т.е. определения текущей величины P, эквивалентной будущей сумме S:

P = S / (1 + i )

С точки зрения концепции временной стоимости денег при данной процентной ставке суммы P иS эквивалентны, можно также сказать, что сумма P является текущим финансовым эквивалентом будущей суммы S .

При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из величины будущей денежной суммы. Антисипативной процентной ставкой (учетной ставкой) d будет выраженное в процентах отношение суммы начисленного дохода к будущей денежной сумме.

В этом случае формула для определения величины наращенной суммы имеет следующий вид:

S = P + I = P / (1 - d )

Соответственно, для операции дисконтирования, называемой в этом случае банковский учет:

P = S (1 - d )

На практике антисипативные процентные ставки применяются обычно при учете векселей. Полученный в этом случае процентный доход называют дисконтом – скидкой с будущей суммы.

При обоих способах начисления процентные ставки могут быть простыми , если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, и сложными , если по прошествии каждого интервала они применяются к сумме первоначального капитала и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

Формулы определения будущей денежной суммы при различных вариантах начисления процентов за период n лет:

S = P (1 + n i ) - для случая простых декурсивных процентов

S = P (1 + i ) n - для случая сложных декурсивных процентов

S = P / (1 - n d ) - для случая простых антисипативных процентов

S = P / (1 - d ) n - для случая сложных антисипативных процентов

Если период начисления выражен в днях, формулы простых процентов примут вид:

S = P (1 + t/T i)

S = P / (1 – t/T d),

где t – продолжительность периода начисления.

Множители, показывающие, во сколько раз будущая денежная сумма больше величины первоначального капитала, называются коэффициентами наращения. Обратными к коэффициентам наращения являются коэффициенты дисконтирования , позволяющие определить текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы.

В некоторых случаях при анализе эффективности различных финансовых операций бывает полезно определять эквивалентные процентные ставки. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Под одинаковыми начальными условиями в данном случае подразумеваются одна и та же величина первоначального капитала и равные периоды начисления дохода. Исходя из этого, можно составить уравнение эквивалентности и вывести соотношение для рассматриваемых ставок.

Например, для простых ссудной и учетной ставок такие соотношения будут выглядеть следующим образом:

d = i / (1 + n i ); i = d / (1 - n d ).

Ссудная ставка, эквивалентная учетной отражает доходность соответствующей операции учета и полезна при сравнении доходности и эффективности различных финансовых инструментов.

Учет инфляции в финансовых расчетах

Инфляция характеризуется снижением покупательной способности национальной валюты и общим повышением цен. На различных участников финансовой операции инфляционный процесс действует неодинаково. Так, если кредитор или инвестор могут потерять часть планируемого дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик получает возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательной способности.

Во избежание ошибок и потерь инфляционное влияние должно учитываться при планировании финансовых операций.

Обозначим через S a сумму, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S в отсутствие инфляции. Уровнем инфляции a называется отношение между инфляционным изменением некоторой величины за определенный период и ее первоначальным значением, выраженное в процентах (в расчетах используется относительный показатель):

a = (S a - S) / S 100%

Отсюда: S a = S (1 + a)

Это означает, что при уровне инфляции a, цены вырастают за период в (1 + a) раз. Множитель (1 + a) называется индексом инфляции I a .

Если рассматриваемый период состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых уровень инфляции составляет величину a, цены в целом вырастут в (1 + a) n раз. Общий итог выражается следующим соотношением:

S a = S (1 + a ) n

Отсюда следует первый важный вывод, касающийся инфляционного процесса:

Инфляционный рост аналогично наращению первоначального капитала по правилу сложных процентов. Только в этом случае мы не получаем доход, а теряем его.

Еще одно полезное соображение касается расчета ставки доходности, которая могла бы компенсировать инфляционные потери и обеспечить прирост капитала.

Пусть a - годовой уровень инфляции,

i – желаемая доходность финансовой операции (очищенная от влияния инфляции)

i a - ставка доходности компенсирующая инфляцию.

Тогда для наращенной суммы S, которая в условиях инфляции превратится в сумму S a , можно записать следующее выражение:

S a = P (1 + i) (1 + a)

Тот же результат может быть получен и другим способом:

S a = P (1 + i a)

Приравнивая правые части записанных равенств получим выражение для расчета i a:

i a = i + a + i a

Это известная формула И. Фишера, в которой величина (a + i a) является «инфляционной премией» - необходимой добавкой, компенсирующей влияние инфляции.

Теперь можно сформулировать второй важный вывод:

Для расчета процентной ставки, компенсирующей инфляцию, к требуемой норме доходности необходимо прибавить не только величину уровня инфляции, но и произведение i a .

В реальной практике часто оказывается полезной модификация данной формулы, позволяющая найти реальную доходность операции в условиях инфляционного повышения цен:

i = (i a - a ) / (1 + a )

Большинство операций, связанных с вложением капитала, подразумевает в будущем не единовременное получение наращенной суммы, а целый денежный поток доходов в течение определенного периода. Основными параметрами, интересующими в этом случае инвестора или кредитора, являются современная (приведенная) стоимость денежного потока, его будущая (наращенная) величина, а также доходность финансовой операции.

Будем использовать следующие обозначения:

P – величина вложенного капитала,

CF k – величина k- го элемента денежного потока,

i – ставка дисконтирования (обычно - сложная ставка ссудного процента),

А – приведенная стоимость (стоимость) денежного потока,

S – будущая стоимость денежного потока,

n – число элементов денежного потока.

Приведенной стоимостью денежного потока называется сумма всех его элементов приведенных (дисконтированных) к настоящему моменту времени:

А = CF 1 / (1 + i) + CF 2 / (1 + i)? + … + CF n / (1 + i) n

Аналогично, будущая стоимость денежного потока, это сумма его наращенных элементов на момент последней выплаты:

S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n- ? + … + CF n

Доходностью финансовой операции называется такая декурсивная процентная ставка, при дисконтировании по которой приведенная стоимость денежного потока доходов совпадает с величиной вложенного капитала: P = A. Для нахождения такой ставки в общем случае приходится решать уравнение n – ой степени .

Значения коэффициентов наращения и дисконтирования в случае использования сложных декурсивных ставок можно найти в специальных таблицах, приведенных в приложении.

Для определения доходности краткосрочной финансовой операции (менее одного года) обычно используется простая ставка ссудного процента, для долгосрочной операции – сложная.

Сегодня недостаточно произвести расчет простого процента или сложного, ни один банк не использует их в чистом виде. Банки выгоднее использовать не только разные виды процентного расчета, но и разные концепции расчета, которые в свою очередь сильно зависят от условий контрактов. Рассмотрим основной способ (концепцию) начисления процентных ставок, это способ декурсивного начисления процентов.

На сегодняшний день это самый распространенный способ начисления процентов, который используется в мировой практике. Основа данной концепции - “от настоящего к будущему”, где при окончании указанного интервала времени начисляется процент или выплачивается начисленный процент на базовый депозит. К декурсивному начислению процентов применяют как простой расчет процента, так и ставку наращения, другими словами используют сложный процентный расчет. Ниже, графическое отображение дохода на депозит в зависимости от выбранного метода процентного начисления и его срока.

В случае с небольшими процентными ставками, декурсивный метод наиболее выгоден заемщику, чем кредитору. И данный метод лучше применять при краткосрочных финансовых операциях. Причем вкладывать желательно на срок не более года, с выплатой процентных начислений в конце каждого интервала времени. В идеале декурсивный метод используется, когда совпадает с интервалом начисления процентов. Однако это не значит, что декурсивное начисление процентов нельзя использовать в любых других случаях. Все зависит от договоренности сторон, которые участвуют в финансовой операции.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

Существует два принципиально разных способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.

При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления, исходя из суммы капитала, предоставленного на начало временного интервала. Декурсивная процентная ставка (i ) называется ссудным процентом и определяется по формуле:

i = I / PV,

где I PV – сумма денег на начало временного интервала.

При антисипативном способе начисления процентов они начисляются в начале каждого интервала начисления, исходя из наращенной суммы денег на конец интервала (включающей капитал и проценты). Антисипативная процентная ставка (d ) называется учетной ставкой и определяется по формуле:

d = I / FV ,

где I – процентный доход за определенный временной интервал; FV – наращенная сумма денег на конец временного интервала.

На практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный способ применяется в операциях учета векселей и других денежных обязательств. Сумма денег на конец интервала начисления считается величиной получаемого кредита. Так как проценты начисляются в начале временного интервала, то заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом.

Декурсивный и антисипативный способы начисления процентов

Дисконт – это разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, то есть доход, полученный банком по учетной ставке.

Как при декурсивном, так и при антисипативном способах могут использоваться схемы начисления простых и сложных процентов. При использовании схемы простых процентов они начисляются на сумму первоначального вклада. Сложный процент предполагает капитализацию процентов, то есть начисление «процентов на проценты».

С точки зрения кредитора, при проведении финансовых операций краткосрочного характера (менее года) более выгодна схема простых процентов, а при долгосрочных операциях (более года) – схема сложных процентов. При долгосрочных операциях с дробным числом лет выгодна так называемая смешанная схема, когда в течение целого числа лет начисляются сложные проценты, а в течение дробной части года – простые проценты.

В табл. систематизированы формулы определения наращенной суммы денег, то есть будущей стоимости вклада, при декурсивном и антисипативном способах начисления процентов. При этом использованы следующие обозначения:

FV – будущая (наращенная) сумма денег;

PV – настоящая (текущая) сумма денег;

i – ставка ссудного процента;

d – учетная ставка;

n – число лет в интервале начисления процентов;

m – число внутригодовых начислений процентов;

t – продолжительность интервала начисления процентов при краткосрочных операциях, дней;

T – продолжительность года, дней;

w – целое число лет в интервале начисления;

f – дробная часть года в интервале начисления.

Таблица

Формулы расчета наращенной суммы денег при различных условиях начисления процентов

Условия начисления процентов	Способ начисления процентов
Декурсивный	Антисипативный
простой процент, целое число лет в интервале начисления	FV = PV´ (1 + in)	FV = PV / (1 – dn)
сложный процент, целое число лет в интервале начисления	FV = PV´ (1 + i)n	FV = PV / (1 – d)n
простой процент, срок операции менее года
смешанная схема начисления процентов при дробном числе лет в интервале начисления	FV = PV´ (1 + i)w (1 + if)	FV = PV /
сложный процент, внутригодовые начисления с целым числом лет в интервале начисления процентов	FV = PV´(1 +i/m)nm	FV = PV / (1 –d/m)nm

Таблица 1

Способы начисления процентов

Декурсивный способ

Антисипативный способ

Проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами.

Проценты приходуются авансом (выплачиваются в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на их величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т.е. скидкой с суммы ссуды).

Процентная ставка,

ставка ссудных (простых) процентов

Учетная ставка,

ставка дисконта

Процентнаяставка (англ. interestrate ) - это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год).

Учётная ставка (англ. discountrate ) - это сумма, указанная в процентном выражении к величине денежного обязательства (векселя), которую взимает приобретатель обязательства. Фактически, учётная ставка - это цена, взимаемая за приобретение обязательства до наступления срока уплаты.

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов

(1 + ni) – множитель наращения декурсивных процентов

1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативных процентов

Отличие способов на практике :

Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых.

В случае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) будет равна 1,15 млн. рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей (1,15 – 1).

Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина (Sd) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сумма процентов (D) 0,176 млн.

Декурсивное начисление процентов

Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки.

Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

Подготовлено по материалам сайтов:

1. http://ru.wikipedia.org . См. статьи «Процентная ставка» и «Учетная ставка».

   http://www.aup.ru/books/m182/ –М.А.Масыч. Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ . Конспект лекций.Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название «период начисления ». Период начисления – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. Антисипативный (prenumerando) метод расчета подразумевает начисление процентов в начале периода.

Предварительный метод начисления процента (метод пренумерандо или антисипативный метод) – способ расчета платежей, при котором проценты начисляются в начале расчет-ного периода на сумму погашения долга в соответствии с учетной ставкой (d). Такой способ начисления процентов называется антисипативным (предварительным).

Вообще, антисипативное наращение используется, как правило, при учете долговых обязательств и при выдаче ссуд, а также в периоды вы-сокой инфляции.

Последующий метод начисления процента (метод постнумерандо или декурсивный метод) – способ расчета платежей, при котором происходит суммирование первоначаль-ного капитала и процентного дохода (в соответствии с процент-ной ставкой)причем начисление процентов осуществляется в конце расчетного периода. Ставку i иногда называют ссудным процентом.

В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.

Период времени от начала финансовой операции до ее окончании (рисунок 1.3) называется сроком финансовой операции .

Если, например, внести в банк 4 тыс.

Декурсивный и антисипативный способы

руб. на полгода под 10 % годовых, то через полгода можно получить свои 4 тыс. руб. вместе с 0,2 тыс. руб., т.е. всего 4,2 тыс. руб. (декурсивное начисление). Если же обратиться в банк за – ссудой в 4 тыс. руб. на полгода под 10 %, то банк удержит процен-ты за весь срок ссуды (0,2 тыс. руб.) сразу, т.е. будет выдано на самом деле 3,8 тыс. руб., а через полгода банк получит 4 тыс. руб. Следовательно, банк получит 3,8 тыс. руб. с процентами на эту сумму (антисипативное начисление).

Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или фин. характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процента.

В настоящее время существует два способа определения и начисления процентов:

Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставленного капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный (предварительный) способ. Предварительный процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплаченного за определенный интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:

Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

где D – сумма дисконта.

Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:

декурсивные проценты: (3)

антисипативные проценты: , (4)

где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Однако продолжительность ссуды n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

для декурсивных процентов: (6)

для антисипативных процентов: , (7)

Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

— Точные проценты с точным числом дней (365/365).

— Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).

— Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения.

Декурсивный и антисипативный способы начисления простых и сложных процентов

Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:

Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года.

Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

(10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

, (11) где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.

В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.

Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:

где (1 –d)n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.

при m > 1 получаем

, (16)где f – номинальная сложная учетная ставка,

(1 – f / m)mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.

Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

, (17) где 1 / (1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:

, (18) где j –номинальная сложная процентная ставка,

1 / (1 + j / m)mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Цена денег – это плата за временное использование «чужих» денег, она определяется в виде про­стых или сложных процентов. Проценты – это доход от предоставления капитала в долг, то есть денежная плата, взимаемая за использование денег. Если проценты имеют стоимостное выражение, их принято называть процентными деньгами. Давая деньги взаймы сегодня, владелец подвергает себя риску их не возврата, то есть не получения дохода от возможных инвестиций, снижает свою ликвидность. Поэтому он стремится возместить потери – получить доход от предоставления денег в долг. Этот доход и называется процентными деньгами.

Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Период начисленияпроцентов – промежуток времени, за который начисляются проценты (срок, на который предоставляются деньги).

Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существует два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.

Декурсивный способ начисления процентов – наращение первоначальной суммы по процентной ставке . Проценты (правильнее – процентные деньги) выплачиваются в конце каждого интервала начисления.

Декурсивная процентная ставка (i), называемая ссудным процентом, – это выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода I (процентных денег) к сумме, имеющейся на начало данного интервала – P .

Наращение (рост) первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов.

S = P + I , (4.1)

I = S – P , (4.2)

где S – наращенная сумма.

Коэффициент наращения К н определяется следующим образом:

Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в долях единицы и определяется делением процентных денег на первоначальную сумму.

. (4.4)

Формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя «темп прироста».

Определение наращенной суммы S называется компаундингом . Определение первоначальной суммы Р – дисконтированием.

День получения и день окончательного погашения займа считаются одним днем (граничный день). Начисление процентов по кредитам и депозитам происходит, как правило, ежедневно. При этом может использоваться или точное количество дней в году (360/365) или банковское (30 дней).

При антисипативном способе начисления процентов (предварительном) проценты выплачиваются в начале периода, за который начисляются проценты. Пример: проценты, взимаемые банком при учете векселей; по факторинговому кредит и проч. Величиной получаемого кредита является наращенная сумма S . Исходя из нее и начисляются проценты. Заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов.

Разница между размером кредита S и выдаваемой суммой Р называется дисконтом, обозначается через D и представляет собой сумму процентных денег.

D = S – P . (4.5)

Ставка дисконта, выраженная в долях от единицы и определяемая делением суммы дисконта на величину Р , называется учетной ставкой d .

. (4.6)

Можно заметить, что и сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом. Однако в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода «наценке», то есть определяется будущая стоимость «сегодняшних денег». Во втором случае определяется настоящая стоимость будущих денег, то есть определяется «скидка» с будущей стоимости (diskont в переводе с немецкого означает «скидка»).

Чаще всего антисипативный способ используется в чисто технических целях – при дисконтировании, а также при учете векселей в банке и при оплате факторинговых услуг. Во всех остальных случаях в мировой практике более распространен декурсивный способ начисления процентов.

Антисипативный способ применяется в странах с развитой рыночной экономикой в периоды высокой инфляции, так как наращение по антисипативному способу происходит более быстрыми темпами, чем при декурсивном способе начисления.

В хозяйственной практике РБ в настоящее время применяется в основном декурсивный способ начисления простых процентов. Проценты по счетам начисляются в соответствии с договором между банком и клиентом. По счетам учета кредитных и депозитных операций проценты начисляются за период, включающий день выдачи кредита или зачисления денег в депозит, и день, предшествующий погашению кредита или выдачи депозита (закрытия счета). При изменении процентной ставки начисление процентов по новой ставке осуществляется со дня ее установления.

В основе любой кредитной операции, т. е. передачи денег в долг заемщику от кредитора, лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу денег в долг, называется процентными деньгами или процентами. Происхождение этого названия связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита.

Плата за кредит может взиматься как в конце срока кредита, так и в его начале (авансовый процентный доход). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т. е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов - антисипативным.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение, поэтому термин "декурсивный" обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте. При использовании же антисипативных процентов используют полное наименование.

Виды процентных ставок

Рассмотрим сначала декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце срока кредита. С количественной стороны кредитная операция характеризуется следующим основным соотношением:

где Р - первоначальная сумма (сумма кредита); I - процентный доход - сумма платы за кредит; S - сумма, подлежащая возврату (полная стоимость кредита).

Сумма платы за кредит I обычно определяется в виде процента от суммы самого кредита - i T . Это отношение называется ставкой процентов, точнее, ставкой процентов за период Т:

(1.1.2)

Временной период, в конце которого приходуется процентный доход, называют еще периодом начисления процентов (часто встречается термин "период конверсии"). Процентная ставка относится ко всему периоду действия кредитного соглашения.

Поскольку сроки кредитов меняются в широком диапазоне (от нескольких дней до десятков лет), то для сравнения условий различных кредитов процентную ставку задают по отношению к некоторому базовому периоду. Наиболее распространен годовой базовый период - в этом случае говорят о годовой процентной ставке. Если период конверсии совпадает с базовым, то годовая процентная ставка совпадает с фактической (1.1.2). Если же срок сделки имеет другую длительность, то годовая процентная ставка, служащая основой для определения процентной ставки за период (фактической процентной ставки), называется номинальной. Процентная ставка за период вычисляется по формуле

где i - номинальная годовая процентная ставка; Т - срок действия соглашения, по истечении которого кредит должен быть возвращен вместе с процентами.

Если период конверсии укладывается целое число раз в году, то ставка за период вычисляется по формуле

где Т = 1/ m ; m - число периодов начисления процентов в году, или частота начисления процентов.

Закон наращения по простой процентной ставке. Дисконтирование; будущая и текущая стоимость денег

Процентный доход по закону простых процентов вычисляется исходя из того, что номинальная процентная ставка не зависит от периода начисления процентов:

Сумму S также называют накопленным (наращенным) значением исходной суммы Р. Используя формулы 1.1.1, 1.1.6, получим:

где s (T ) = l + iT - множитель (коэффициент) наращения, или аккумулирующий множитель за период Т.

Зная инвестированную сумму Р и процентную ставку i, легко вычислить по формуле (1.1.7) значение S для произвольного срока кредитного соглашения. Множитель наращения не зависит от величины начальной суммы и показывает, во сколько раз вырос первоначальный капитал. Именно он характеризует доходность кредитной операции, позволяя определить, во что превратится единичная сумма к концу срока (или через любой промежуток времени Т). В финансовой математике принято рассчитывать результаты финансовых операций для единичных сумм, умножая затем результат на первоначальную величину и получая значение наращенной суммы.

При проработке различного рода финансовых операций нередко приходится решать обратную задачу: известно, какая сумма в будущем нужна для получения некоторого результата, искомой величиной является текущее ее значение. Иными словами, задача ставится так: какую сумму необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенный интервал времени получить заданное значение? В данной ситуации текущая стоимость денежной суммы является проекцией ее заданного будущего значения. Такое проецирование суммы из будущего в настоящее называют дисконтированием. Название термина происходит от слова "дисконт" - скидка с цены долгового обязательства при авансированной выплате процентов за пользование кредитом. Дисконтирование и наращение - взаимно обратные процессы. Формула дисконтирования по простой процентной ставке выглядит следующим образом:

(1.1.8)

где v = 1/(1 + iT ) - дисконтный множитель за период Т.

В англоязычной литературе для обозначения наращенной суммы традиционно используется буквосочетание FV (от Future Value of Money - будущая стоимость денег); для обозначения текущей стоимости - PV (от Present Value of Money - настоящая стоимость денег).

Термины "наращение" и "дисконтирование" употребляются и в более широком смысле, как средства определения любой стоимостной величины на некоторый произвольный момент времени вне зависимости от конкретного вида финансовой операции, предусматривающей начисление процентов. Такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени. Наращенная, или будущая, стоимость денежной суммы означает проекцию заданной в настоящий момент суммы на определенный интервал времени вперед, в будущее. Дисконтирование – проекцию суммы, заданной в некоторый момент времени в будущем, на определенный интервал времени назад, в настоящее.

Приведение суммы к определенному моменту времени состоит в ее умножении на множитель приведения, который равен либо множителю наращения при приведении к будущему моменту времени, либо дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию – отрицательная. В этом случае множитель приведения r(t) можно записать в виде

(1.1.9)

где s(t) = s(T) - множитель наращения; v(׀ t׀ ) = v Т – дисконтный множитель; Т = ׀ t׀ – величина периода исчисления (значение временного интервала на числовой оси, взятое по модулю).

Зависимость этого множителя от времени, т.е. от величины периода начисления процентов Т=׀ t׀ , определяемая формулой (1.1.9), приведена на рис. 1.1.1 для ставки 30% годовых.

Переменная процентная ставка

Часто в течение срока действия кредитного соглашения процентная ставка изменяется. В этом случае проценты рассчитываются отдельно для каждого периода, в течение которого процентная ставка постоянна, а затем в конце срока кредитования рассчитанные для отдельных периодов проценты суммируются.

В общем виде при интервалах времени N , на каждом из которых будет применяться своя ставка процентов, начисленная сумма процентов за весь срок составит

где k – порядковый номер временного интервала; i k , Т k – соответственно номинальная процентная ставка и длительность временного интервала (в годах).

Иногда в литературе встречается утверждение, что (1.1.10) есть сумма процентов, начисленных в каждом временном периоде. Однако, согласно схеме простых процентов, начисление и выплата процентов предполагаются лишь по истечении срока кредитного соглашения; их начисление и присоединение к сумме основного долга в пределах срока ссуды не предусмотрено. В связи с этим следует провести различие между расчетом и начислением процентов. Расчет процентов – это математическая операция по определению величины процентных денег за любой временной период, а также за весь срок кредитного соглашения. Начисление же процентов – это конкретная бухгалтерская операция, в результате которой плата за кредит должна быть либо перечислена кредитору, либо присоединена к сумме основного долга. Поэтому говорить о начислении процентов при изменении процентной ставки в пределах срока кредита некорректно (поскольку никаких бухгалтерских операций в этом случае не осуществляется); можно вести речь лишь о расчете процентов за тот или иной период.

Материал предоставлен сайтом (Электронная библиотека экономической и деловой литературы)